高中数学：不等式的证明方法有哪些？

高中数学一直是很多高中生考试中的“痛点”，小编也不例外。现在回想起来，才后悔当初是没有找到好的方法，想当年，小编就是败在了“不等式”的脚下，相信很多学生也跟我一样，对“不等式”这三个字“深恶痛绝”。真的没有办法考好不等式的题目吗?办法是一定有的，智择优小编就整理出了一整套关于不等式的考法和要求供同学们参考学习，希望不会再有同学在解这类题时抓耳挠腮、不知所云了。

不等式常见考法

在平常大大小小的考试当中，出题人一般会以解答题的形式考查比较法、分析法、综合法、数学归纳法这四种基本方法证明不等式，属于较容易的题。在高考中，不等式一般与函数、数列、解析几何等联合考查证明一起出现，属于难题。

不等式考试要求

同学们在解答时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个初中到高中的数学之中。诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都能归结为不等式的求解或证明。

(1)理解不等式的性质及其证明。

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

(4)掌握简单不等式的解法。

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

不等式证明方法

1、比较法：包括比差和比商两种方法。

2、综合法：证明不等式时，要从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法就称为综合法，由因导果。

3、分析法：证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法就是分析法，执果索因。

4、放缩法：证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法就是放缩法。

5、数学归纳法：用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。在证明第二步时，一般会用到比较法、放缩法和分析法。

6、反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

不等式解题思路

1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)。

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